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wikitelaio2017:sollecitazioni_trave_3d_bis

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wikitelaio2017:sollecitazioni_trave_3d_bis [2017/03/06 11:48] – ebertocchiwikitelaio2017:sollecitazioni_trave_3d_bis [2018/03/02 19:49] (versione attuale) – [PATTUME] ebertocchi
Linea 1: Linea 1:
 +====== Azione interna in travi spaziali: stato tensionale e deformativo ======
 +Con particolare riferimento a profilati in parete sottile.
  
 +===== Richiami di teoria dell'elasticità =====
 +==== Stato tensionale ====
 +
 +
 +{{ :wikipaom2016:25_02_2016_fig2.jpg |}}
 +
 +==== Stato deformativo ====
 +FIXME
 +
 +
 +==== Legame costitutivo ====
 +
 +Legame tra componenti di tensione e componenti di deformazione per un materiale elastico lineare isotropo
 +
 +$$
 +\def\X{\frac{E\left(1-\nu\right)}{\left(1-2\nu\right)\left(1+\nu\right)}}
 +\def\Y{\frac{E\nu               }{\left(1-2\nu\right)\left(1+\nu\right)}}
 +\begin{bmatrix}
 +    \sigma_{x}\\
 +    \sigma_{y}\\
 +    \sigma_{z}\\
 +    \tau_{xy} \\
 +    \tau_{yz} \\
 +    \tau_{zx}    
 +\end{bmatrix}
 +=
 +\begin{bmatrix}
 +    \X&\Y&\Y&0&0&0 \\
 +    \Y&\X&\Y&0&0&0 \\
 +    \Y&\Y&\X&0&0&0 \\
 +    0 &0 &0 &G&0&0 \\
 +    0 &0 &0 &0&G&0 \\
 +    0 &0 &0 &0&0&G
 +\end{bmatrix}
 +\begin{bmatrix}
 +    \epsilon_{x}\\
 +    \epsilon_{y}\\
 +    \epsilon_{z}\\
 +    \gamma_{xy} \\
 +    \gamma_{yz} \\
 +    \gamma_{zx}    
 +\end{bmatrix}
 +$$
 +
 +$$
 +\def\X{\frac{1}   {E}}
 +\def\Y{\frac{-\nu}{E}}
 +\def\Z{\frac{1}  {G}}
 +\begin{bmatrix}
 +    \epsilon_{x}\\
 +    \epsilon_{y}\\
 +    \epsilon_{z}\\
 +    \gamma_{xy} \\
 +    \gamma_{yz} \\
 +    \gamma_{zx}    
 +\end{bmatrix}
 +=
 +\begin{bmatrix}
 +    \X&\Y&\Y&0&0&0 \\
 +    \Y&\X&\Y&0&0&0 \\
 +    \Y&\Y&\X&0&0&0 \\
 +    0 &0 &0 &\Z&0&0 \\
 +    0 &0 &0 &0&\Z&0 \\
 +    0 &0 &0 &0&0&\Z
 +\end{bmatrix}
 +\begin{bmatrix}
 +    \sigma_{x}\\
 +    \sigma_{y}\\
 +    \sigma_{z}\\
 +    \tau_{xy} \\
 +    \tau_{yz} \\
 +    \tau_{zx}    
 +\end{bmatrix}
 +$$
 +
 +Si noti che: 
 +  *//E// rappresenta il modulo di Young, 
 +  *$\nu$ rappresenta il coefficiente di Poisson (per i materiali di nostro interesse, principalmente metallici, vale circa 0,3)
 +  *//G// rappresenta il modulo di taglio, legato a //E// e $\nu$ dalla relazione:
 +
 +$$
 +G=\frac{E}{2\left ( 1+\nu  \right )}
 +$$
 +
 +
 +===== Sforzo normale e momento flettente (puro) =====
 +Si considera uno stato tensionale uniassiale $\sigma_z = E \epsilon_z$.
 +
 +
 +===== Taglio =====
 +Applicazione della formula di Jourawski a sezioni in parete sottile aperta e chiusa.
 +
 +==== Taglio in sezioni sottili aperte ====
 +Applicazione di Jourawsky su sezioni sottili aperte. Procedura per la determinazione del centro di taglio
 +
 +==== Taglio in sezioni sottili chiuse ====
 +Applicazione di  Jourawsky su sezioni sottili aperte. Procedura per la determinazione del parametro incognito $\tau_c t_c$. 
 +
 +Energia potenziale elastica di un concio di trave in taglio/torsione, $\tau \equiv \tau_{zs}$ con $s$ ascissa curvilinea a scorrere sulla parete sottile a partire dal punto di taglio C.
 +
 +
 +Definizione $\tau(s)$ sui tratti della sezione in parete sottile
 +$$
 +\tau\left(s \right )t\left(s \right )=\iint_{A^\star}\frac{d \sigma_z}{dz} d A - \tau_C t_C = \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t(\cdot) d \cdot - \tau_C t_C
 +$$
 +
 +Suppongo qui $\sigma_z$ uniforme lungo lo spessore (stato di taglio membranale).
 +
 +Energia associata alla combinazione taglio / momento torcente indotto dal carico traverso se applicato con braccio $d$ rispetto al centro di taglio
 +
 +$$
 +U = \oint \frac{\tau^2(s)}{2G} t(s) ds=\oint \frac{\left( \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t(\cdot) d \cdot - \tau_C t_C \right)^2}{2G} t(s) ds
 +=\frac{1}{2}T_y v_C + \underbrace{ \frac{1}{2} \underbrace{T_y d}_{M_t} \theta}_{\geq 0}
 +$$
 +ove $v_C$ è lo spostamento in direzione y del centro di taglio
 +
 +
 +Essendo l'energia relativa al momento torcente $\geq 0$, il caso a $d$ nullo è un minimo dell'energia potenziale elastica.
 +
 +$$
 +\frac{\partial U}{\partial t_C \tau_C} = 0
 +$$
 +
 +$$
 +\frac{\partial U}{\partial \left(\tau_C t_C \right )}
 +=
 +\oint \frac{
 +
 + +2\left(
 +  \tau_C t_C
 +  \right)
 + - 2 
 +      \left(
 +        \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t(\cdot) \;d \cdot 
 +      \right)
 +}{2G} t\; ds =0
 +$$
 +e quindi
 +$$
 +
 +  \tau_C t_C
 +=
 +
 +\frac{
 +\oint \frac{
 +
 + 
 +
 +        \int_{0}^{s} \frac{d \sigma_z}{dz} t \;d \cdot 
 +
 +}{G} t\; ds 
 +}{\oint \frac{
 +t
 +}{G} \; ds 
 +}
 +$$
 +
 +===== Torsione =====
 +====== PATTUME ======
 +Lucidi della lezione
 +
 +{{:wikitelaio2017:img012.jpg?200|}}
 +{{:wikitelaio2017:img013.jpg?200|}}
 +{{:wikitelaio2017:img014.jpg?200|}}
 +
 +Lucidi e appunti spicci
 +
 +{{:wikitelaio2017:0593_001.jpg?200|}}
 +{{:wikitelaio2017:0593_002.jpg?200|}}
 +{{:wikitelaio2017:0592_003.jpg?200|}}
 +{{:wikitelaio2017:0592_004.jpg?200|}}
 +
 +Materiale di riferimento/approfondimento per sezioni in parete sottile chiusa e aperta a torsione
 +
 +[[http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/Structures.d/IAST.Lect08.d/IAST.Lect08.pdf| C. Felippa, Torsion Of Open Thin Wall (OTW) Sections]]
 +[[http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/Structures.d/IAST.Lect09.d/IAST.Lect09.pdf| C. Felippa, Torsion Of Closed Thin Wall (CTW) Sections]]