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+A cura di Antonio Loriso, Francesco della torca, Francesco Marino
+{{ :wikipaom2019:lezione_21-03-19_.pdf |}}
+{{ :wikipaom2019:lezione_21-03-19_1_1_.docx |}}
+A cura di Fabio Veruschi, Gianmarco Rigon
+{{ :wikipaom2019:lezione_21-03-2019_part2.pdf |}}
+----
+====== Area a cura del Docente ======
+===== Soluzione di Michell =====
+testo di riferimento: J.R. Barber, Elasticity, da [[restricted:materiale_didattico_copyright|Materiale corsi di NON libera distribuzione]], .
+{{ :wikipaom2019:estratto_michell_barber_elasticity_p119_p130.pdf |estratto termini soluzione di Michell}}
+Argomenti di riferimento:
+  * stato piano di tensione e stato piano di deformazione;
+  * costante di Kolosov per tensione e deformazione piana, definizione delle comp. entro piano di deformazione p.43 (59 pdf);
+    * DP:  $\kappa=\left(3-4\nu\right)$ ; TP:  $\kappa=\left(\frac{3-\nu}{1+\nu}\right)$ ;
+    *  $\epsilon_x=\left(\frac{\kappa+1}{8\mu} \right) \sigma_x - \left(\frac{3-\kappa}{8\mu} \right) \sigma_y$
+    *  $\epsilon_y=\left(\frac{\kappa+1}{8\mu} \right) \sigma_y - \left(\frac{3-\kappa}{8\mu} \right) \sigma_x$
+    *  $\gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{\mu}$
+    *  $\kappa$  e modulo di taglio  $\mu$  definiscono completamente il legame costitutivo per un materiale isotropo in stati piani.
+  * componenti fuori piano di tensione e deformazione:
+    * TP:  $\epsilon_z=-\frac{\nu}{1-\nu}\left(\epsilon_x + \epsilon_y \right)=-\frac{\nu}{E}\left(\sigma_x+\sigma_y\right)$
+    * DP:  $\sigma_z = \nu \left( \sigma_x+\sigma_y \right)$
+  * deformazione piana generalizzata come sovrapposizione ad uno stato di deformazione piana di una soluzione  $\epsilon_z=\bar{\epsilon}-\frac{1}{\rho_y}x+\frac{1}{\rho_x}y$  costruita in compensazione delle risultanti di sforzo normale e momento flettente;
+  * equazioni di equilibrio in stati piani, in eventuale presenza di azioni distribuite  $q_x$  e  $p_y$ :
+    * eq. tx:  $\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y}+p_x=0$
+    * eq. ty:  $\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y}+p_y=0$
+  * rotazione del sistema di riferimento per le componenti di tensione, p. 9 (27 pdf), da utilizzarsi nel passaggio da tensioni in coordinate cartesiane a tensioni in coordinate polari
+{{:wikipaom2017:componenti_di_tensione_da_cartesiano_a_polare_v000.png?600|}}
+{{:wikipaom2017:componenti_di_tensione_da_cartesiano_a_polare_v000.pdf|sorgente ipe}}
+  * equazioni di equilibrio in coordinate polari, basato su di un settore di corona circolare di ampiezza radiale  $dr$  e ampiezza angolare  $d\theta$ :
+    * eq. tr. radiale:  $\frac{\partial \sigma_r}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial \tau_{r\theta}}{\partial \theta}+\frac{\sigma_r-\sigma_\theta}{r}+p_r=0$
+    * eq. tr. circonf.: $\frac{1}{r}\frac{\partial \sigma_\theta}{\partial \theta}+\frac{\partial \tau_{r\theta}}{\partial r}+\frac{2\tau_{r\theta}}{r}+p_\theta=0$
+  * relazioni spostamento-deformazione in coordinate polari:
+    *  $\epsilon_r=\frac{\partial u}{\partial r}$
+    *  $\epsilon_\theta=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta}+\frac{u}{r}$
+    *  $\gamma_{r\theta}=\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta} -\frac{v}{r}$
+  * operatore laplaciano e bilaplaciano, p. 49 (65 pdf) in coord. cartesiane, p. 111 (125 pdf) in coordinate polari;
+    * coord. cart.:  $\nabla^2=\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)$
+    * coord. polari: $\nabla^2=\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\right)$
+    * bilaplaciano:  $\nabla^4 \phi=\nabla^2 \nabla^2 \phi$
+  * Airy stress function  $\phi$ , p. 46 (62 pdf);
+    * l'associata definizione (4.6) di  $\sigma_{xx},\sigma_{yy},\sigma_{xy}=\tau_{xy}$  soddisfa nativamente (=sulla base del teorema di Schwarz) le equazioni di equilibrio in assenza di azione distribuita (4.1), in particolare:
+      *  $\sigma_x=\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}$
+      *  $\sigma_y=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}$
+      *  $\tau_{xy}=-\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}$
+    * l'equazione  $\nabla^4 \phi=0$  caratterizzante la funzione di Airy deriva dall'equazione di compatibilità, una volta sostituita in essa il legame elastico omogeneo isotropo, p. 48 (64 pdf);
+  * note sull'equazione di compatibilità:
+    * uno stato di deformazione è compatibile se è definibile in termini di un campo di spostamenti monodromo,differenziabile e a derivate parziali continue;
+    * uno stato di deformazione è compatibile se lo spostamento relativo tra due punti A e B entro il solido elastico è definibile per accumulo (integrazione) dei contributi deformativi su di un percorso A->B, e se tale integrale è indipendente dal percorso, per piccole variazioni del percorso stesso.
+    * uno stato di deformazione è compatibile se non genera dislocazioni nel corpo elastico, ove non ne preesistessero.
+  * derivazione di  $\sigma_{rr},\sigma_{\theta\theta},\tau_{r\theta}$  da  $\phi$ , p. 110 (124);
+    * $\sigma_r=\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial \theta^2}$
+    * $\sigma_\theta=\frac{\partial^2\phi}{\partial r^2}$
+    * $\tau_{r\theta}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}-\frac{1}{r}\frac{\partial^2\phi}{\partial r \partial \theta}$
+  * termini della soluzione di Michell, componenti di tensione p. 119 (133), inseriti nel foglio maxima di seguito;
+    * gli stati tensionali, deformativi e di spostamento descritti dai termini della soluzione di Michell (o funzioni di Airy in generale) sono stati "naturali" o "propri" del materiale elastico nel senso che possono sussistere in assenza di azioni esterne applicate ai punti interni del dominio
+  * termini della soluzione di Michell, spostamenti p. 130 (144).
+===== Lastra forata =====
+==== Stralci di codice da inserire ====
+Conversione delle componenti di tensione (stati piani) da sistema cartesiano a polare, cfr. pp. 8-9 Barber.
+  define(
+      srr_from_xy(sxx,syy,sxy,t),
+      sxx*c^2 + syy*s^2+2*sxy*s*c
+  ), [c = cos(t) , s = sin(t)];
+  define(
+      srt_from_xy(sxx,syy,sxy,t),
+      sxy*(c^2-s^2)+(syy-sxx)*s*c
+  ), [c = cos(t) , s = sin(t)];
+  define(
+      stt_from_xy(sxx,syy,sxy,t),
+      syy*c^2 + sxx*s^2-2*sxy*s*c
+  ), [c = cos(t) , s = sin(t)];
+Tabelle termini Michell utilizzati
+<code>
+philist : [
+    r^2 ,
+    log(r) ,
+    t,
+    r^(-n+2)*cos(n*t),
+    r^n*cos(n*t) ,
+    r^(-n)*cos(n*t)
+],n=2;
+</code>
+<code>
+twomu_ur_list : [
+    (kappa-1)*r ,
+    -1/r ,
+,
+    (kappa+n-1)*r^(-n+1)*cos(n*t),
+            -n *r^( n-1)*cos(n*t) ,
+             n *r^(-n-1)*cos(n*t)
+],n=2;
+</code>
+<code>
+twomu_ut_list : [
+,
+,
+    -1/r,
+   -(kappa-n+1)*r^(-n+1)*sin(n*t),
+             n *r^( n-1)*sin(n*t) ,
+             n *r^(-n-1)*sin(n*t)
+],n=2;
+</code>
+Derivazione dei termini di tensione dai relativi della funzione di Airy
+<code>
+srr : 1/r * diff( phi , r , 1) + 1/r^2*diff( phi , t , 2 );
+stt : diff( phi , r , 2 );
+srt : 1/r^2 * diff(phi, t,1) - 1/r * diff(phi,r,1,t,1);
+</code>
+==== file maxima lato cattedra ====
+{{ :wikipaom2019:foro_in_lastra_infinita_a2019_v001.wxmx | concentrazione di tensioni in lastra forata, foglio a fine lezione}}
+~~DISCUSSION~~