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--- wikipaom2017:forze_nodali [2017/03/09 16:37] – [Carico nodale equivalente] ebertocchi
+++ wikipaom2017:forze_nodali [2017/03/09 16:56] (versione attuale) – [Caso particolare: azioni distribuite uniformi e interpretazione ad aree di influenza] ebertocchi
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+===== Carico nodale equivalente =====
+Sia dato un carico distribuito di volume in componenti $q_x,q_y$ applicato ai punti interni di un elemento triangolare CST.
+Ai lati dello stesso elemento sono applicate delle azioni distribuite di superficie $s_x, s_y$, eventualmente definite in termini di una pressione distribuita $p$ e di un'azione tangenziale $q$ e successivamente ridotte a componenti secondo il sistema globale. Tali azioni possono variare nello spazio $(x,y)$ e nel tempo $t$.
+Si ammette inoltre la presenza di carichi esterni concentrati
+$$
+\boldsymbol{P} = \begin{bmatrix}
+P_{xi}\\
+P_{yi}\\
+P_{xj}\\
+P_{yj}\\
+P_{xk}\\
+P_{yk}
+\end{bmatrix}
+$$
+applicati ai vertici dell'elemento.
+A fronte di uno spostamento virtuale $\delta \boldsymbol{d}$ dei nodi dell'elemento, si induce un campo di spostamenti interno $\delta \boldsymbol{u}$  pari a
+$$
+\underbrace{
+\begin{bmatrix}
+\delta u (x,y)\\
+\delta v (x,y)
+\end{bmatrix}
+}_{\delta \boldsymbol{u}(x,y)}
+=
+\underbrace{
+\begin{bmatrix}
+N_i & 0 & N_j & 0 & N_k  & 0 \\
+& N_i & 0 & N_j & 0 & N_k
+\end{bmatrix}
+}_{\boldsymbol{\mathrm{N}}(x,y)}
+\underbrace{
+\begin{bmatrix}
+\delta u_i \\
+\delta v_i \\
+\delta u_j \\
+\delta v_j \\
+\delta u_k \\
+\delta v_k
+\end{bmatrix}
+}_{\delta \boldsymbol{d }}
+$$
+Il lavoro virtuale di tali azioni concentrate e distribuite è
+$$
+\delta W =
+  \delta\boldsymbol{d}^{\mathrm{T}}
+  \boldsymbol{P}
+  + \iint_{\mathrm{area}} \begin{bmatrix} \delta u & \delta v \end{bmatrix}
+       \begin{bmatrix}
+         q_x \\
+         q_y
+       \end{bmatrix} tdA
+  + \int_{\mathrm{perim.}} \begin{bmatrix} \delta u & \delta v \end{bmatrix}
+       \begin{bmatrix}
+         s_x \\
+         s_y
+       \end{bmatrix} tdl
+$$
+$$
+\delta W =
+  \delta\boldsymbol{d}^{\mathrm{T}}
+  \underbrace{
+  \left(
+    \boldsymbol{P}
+  + \iint_{\mathrm{area}} \boldsymbol{\mathrm{N}}^{\mathrm{T}}
+       \begin{bmatrix}
+         q_x \\
+         q_y
+       \end{bmatrix} tdA
+  + \int_{\mathrm{perim.}}\boldsymbol{\mathrm{N}}^{\mathrm{T}}
+       \begin{bmatrix}
+         s_x \\
+         s_y
+       \end{bmatrix} tdl
+  \right)}_{\boldsymbol{F}}
+$$
+da cui la definizione di forze nodali equivalenti
+$
+\boldsymbol{F} = \begin{bmatrix}
+X_i & Y_i & X_j & Y_j & X_k & Y_k
+\end{bmatrix}^{\mathrm{T}}
+$
+; tale equivalenza è definita in termini di egual lavoro virtuale su di uno spostamento virtuale generico.
+La singola componente di $\boldsymbol{F}$ è definibile come il lavoro delle forze applicate all'elemento sul campo di spostamenti indotto da una modulazione unitaria di uno dei gradi di libertà; si ottiene ad esempio
+$$
+X_j =
+  P_{x,j}
++ \iint_{\mathrm{area}} q_x N_j(x,y) t dA
++ \int_{\mathrm{ij}} s_x N_j(x,y) tdl
++ \int_{\mathrm{jk}} s_x N_j(x,y) tdl
++ \int_{\mathrm{ki}} s_x N_j(x,y) tdl
+$$
+ove gli ultimi tre integrali sono da svolgersi scorrendo sui lati $\mathrm{ij}$,$\mathrm{kj}$, $\mathrm{ki}$.
+Nel caso $q_x$ o $s_x$ risultino costanti è possibile estrarli dagli integrali ed utilizzare le proprietà integrali della funzione di forma $N_j$ associata al nodo $\mathrm{j}$
+$$
+\frac{
+\iint_{\mathrm{area}} N_j(x,y) dA
+}{A} = \frac{1}{3}
+$$
+$$
+\frac{
+\int_{\mathrm{ij}} N_j(x,y) dl
+}{l^{\mathrm{ij}}} =
+\frac{
+\int_{\mathrm{jk}} N_j(x,y) dl
+}{l^{\mathrm{jk}}} = \frac{1}{2}
+$$
+$$
+\frac{
+\int_{\mathrm{ki}} N_j(x,y) dl
+}{l^{\mathrm{ki}}} = 0
+$$
+ove $l^\mathrm{ij}$, $l^\mathrm{jk}$ e $l^\mathrm{ki}$ sono le lunghezze degli associati lati.
+Si ottengono quindi le relazioni semplificate descritte nel paragrafo seguente.
+==== Caso particolare: azioni distribuite uniformi e interpretazione ad aree di influenza ====
+Consideriamo uno spostamento virtuale d'esempio
+{{:wikipaom2017:carichi_distribuiti_ridotti_a_nodali_v002ab.png|}}
+Riduzione a carico nodale equivalente e interpretazione ad aree di influenza nodale
+{{ :wikipaom2017:carichi_distribuiti_ridotti_a_nodali_v002c.png |}}
+Tale modello ad aree di influenza nodale **non** risulta coerente con la definizione energetica nel caso di carichi variabili nello spazio, ad esempio ad andamento lineare in $x$ o $y$; l'errore indotto tuttavia diminuisce con la dimensione caratteristica degli elementi.
+Sorgenti ipe:
+{{ :wikipaom2017:carichi_distribuiti_ridotti_a_nodali_v002ab.pdf |ab}}
+{{ :wikipaom2017:carichi_distribuiti_ridotti_a_nodali_v002c.pdf |c}}
+===== Altro =====
+{{:wikipaom2017:img020.jpg?200|}}