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====== Materiale di approfondimento TEORIA DELL' INSTABILITA' DELLE STRUTTURE ELASTICHE. ======

Si consideri l'esempio riportato in figura(1) di una trave sottoposta a carico di punta P.
La trave assumerà una configurazione deformata che rimarrà stabile fino a quando il carico P (supposto crescente) non raggiungerà un vaolore critico Pcr tale da portare a cedimento a flessione la trave stessa.
Per studiarne la stabilità si prende in considerazione una qualsiasi configurazione deformata della trave (figura2), dove si ha uno spostamento verticale x del punto di applicazione di P. Si impone l'equilibrio ad un concio di trave spostatosi lateralmente di una quantità v(x) a seguito dell'abbassamento x del punto suddetto. Sul concio ho componenti di sforzo flessionali oltre a quelli compressivi. Avendo Mf<0 (curvatura negativa nell'esempio), esso è pari a Mf=-P*v(x)=E*J*(d"v/dx^2). Da tale espressione deriva l'equazione differenziale di secondo grado che descrive l'equilibrio del concio di trave, la cui soluzione periodica in x che fornisce lo spostamento v(x) permette di ricavare, sostituita nell'equazione, l'espressione del carico euleriano: P=(π^2*e*J)/L^2.
Si sottolinea che l'instabilità euleriana si verifica con carichi compressivi e non trattivi, con i quali il sistema sarebbe sempre stabile.
Discretizzata la trave in n nodi: Pn= (π^2*E*J*n^2)/L^2.
Se la struttura viene perturbata da un carico P(t) periodico, esso è scompnibile in serie di Fourier. 
La struttura diventa instabile quando P>Pcr(critico). Il carico critico non è unico, dipende dalla perturbazione iniziale ed evolverà nel tempo secondo una sommatoria di fattori di amplificazione.
----> (Da completare!).
===== Little Book of dynamic buckling =====
Herbert E. Lindberg [[http://lindberglce.com/tech/LittleBook.PDF]]

da formule (2.9) e (2.15) si ha che a fronte di una perturbazione iniziale

$$
y_0(x)=\sum_{i=1}^{\infty} a_i \sin{\frac{i\pi x}{L}}
$$

ho una risposta amplificata (perturbazione inclusa)
$$
y(x)+y_0(x)=\sum_{i=1}^{\infty} a_i \frac{1}{1-\frac{P}{P_{cr,i}}} \sin{\frac{i\pi x}{L}}
$$



===== Buckling dinamico =====
trave cerniera-carrello a compressione che sviluppa 3° modo di buckling 
[[https://www.youtube.com/watch?v=dWki0S3JiqY|filmatino youtube]]