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====== Es. 1 ======
Il tiro $T$ della fune eguaglia il peso $P$ del contrappeso. 
La forza cumulativa trasmessa dalla fune alla puleggia, e quindi dalla puleggia all'albero ha direzione allineata alla bisettrice dell'angolo tra i tratti della fune, e modulo pari a $F=2 \cdot T \cdot \cos(45°)=\sqrt{2} T$; vedasi a riguardo l'esercizio 7.3.1 p. 50.

Tale forza agisce con braccio $c$ sulla sezione di interesse, producendo un momento flettente $M_\mathrm{f}=F \cdot c$, e una tensione nominale $\sigma_\mathrm{f}=\frac{M_\mathrm{f}}{W}$, ove $W=\frac{\pi a^3}{32}$.

Tale momento flettente risulta rotante rispetto all'albero, producendo una sollecitazione affaticante all'inversione.

Il momento torcente alla sezione di interesse, e l'associata tensione nominale sono **pari a zero**; l'albero che porta la puleggia di rinvio non è collegato infatti ad ulteriori dispositivi (ruote dentate, altre pulegge...) atti a trasmettergli la coppia torcente necessaria a contrastare un'eventuale differenza di tiro tra i due rami della fune. Tale differenza di tiro, peraltro, è esclusa dallo schema riportato in figura.

Dato il fattore di forma $\alpha_k=1.9$ a flessione si deriva la tensione teorica; calcolato il fattore di sensibilità all'intaglio $\eta_k$ tramite la seconda delle Eq. (4.2.2) p. 306 (il diagramma di Goodman per il materiale a p. 250 lo indica come un acciaio da bonifica), si derivano quindi coefficiente di effetto intaglio $\beta_k$ e tensione effettiva per carichi affaticanti, come da paragrafi 4.3÷4.4 pp. 308 sgg.

Il coefficiente di sicurezza si ottiene rapportando la tensione critica all'inversione a flessione (270÷280 MPa dal suddetto diagramma) alla tensione effettiva calcolata.


====== Es. 2 ======
Dopo aver ribaltato il ciclo delle $\tau_\mathrm{xy}$ in modo da avere tensione media $\tau_\mathrm{xy,m}\geq 0$, i cicli delle tre componenti hanno un comune coefficiente $K$ pari a 0,214 .

Le tensioni critiche a flessione -- e non a sforzo normale, per via dello spiccato gradiente che caratterizza lo stato tensionale agli intagli -- e a taglio sono derivabili dal diagramma di Goodman del materiale a p. 253 e valutati in 850$\div$870 MPa per le $\sigma_{\lbrace\mathrm{x,y}\rbrace}$ e in 490$\div$500 MPa per la $\tau_\mathrm{xy}$.

Il calcolo del coefficiente di sicurezza si effettua utilizzando la formula per stato piano completo (2.2.1.10) a p. 454 con $\sigma_x=280$ MPa, $\sigma_y=70$ MPa, $\tau_{xy}=84$ MPa, considerando positivo il prodotto $\sigma_\mathrm{x}\sigma_\mathrm{y} > 0$ in quanto le due componenti raggiungo gli estremi trattivi e compressivi del ciclo in sincronia; il segno negativo del termine misto nel suo complesso è coerente la riduzione della natura deviatorica dello stato tensionale istantaneo.

L'utilizzo delle formule per stato triassiale non è da ritenersi corretta in quanto è disponibile una formula specifica per lo stato piano completo di tensione.


====== Es. 3 ======
Ricordiamo innanzitutto l'equivalenza **1 bar = 0.1 MPa**, utile a tradurre un'unità di misura della pressione di assai comune utilizzo in ambito oleodinamico/pneumatico nella consueta unità di misura utilizzata per gli stati tensionali.

Le tensioni circonferenziali e radiali ai bordi interno ed esterno, e la tensione assiale associata alla presenza di fondi sono valutabili secondo la trattazione alle pp. 662-665 dello Strozzi, ottenendo
$$\sigma_{r,i}=-p_i,\quad \sigma_{\theta,i}=\frac{r_e^2+r_i^2}{r_e^2-r_i^2}\cdot p_i$$
$$\sigma_{r.e}=0,   \quad \sigma_{\theta.e}=\frac{2 r_i^2}{r_e^2-r_i^2}\cdot p_i$$
$$\sigma_{a,i}=\sigma_{a,e}=A^\prime=\frac{r_i^2}{r_e^2-r_i^2}\cdot p_i$$
Lo stato tensionale indotto dalla pressurizzazione è circonferenzialmente uniforme.

Nel trasmettere un momento flettente costante $M_\mathrm{f}$, il cilindro si comporta come una trave ad asse rettilineo e sezione circolare cava; il suo modulo di resistenza a flessione 
$$W=\frac{\pi \left( 2r_e \right)^3}{32}\left[1-\frac{\left(2 r_i\right)^4}{\left(2 r_e\right)^4}\right]$$
definisce il rapporto tra momento flettente e tensione flessionale al punto più lontano dall'asse neutro, ossia al bordo esterno; si ha quindi

$$\sigma_{f,e}=\frac{M_\mathrm{f}}{W}$$

Lo stato tensionale indotto dal momento flettente al bordo esterno varia muovendosi in direzione circonferenziale da un valore di tensione assiale pari a $+\sigma_{f,e}$ misurato alla fibra massimamente tesa, ad un valore uguale e contrario $-\sigma_{f,e}$ misurato al punto diametralmente opposto (fibra massimamente compressa).

Spostandosi in direzione radiale dal bordo esterno al bordo interno ci si avvicina all'asse neutro flessionale e la componente assiale di tensione indotta dal momento flettente cala di un fattore $\frac{r_i}{r_e}<1$, in coerenza con l'andamento a farfalla delle tensioni flessionali. 

Si ha quindi che, scorrendo lungo il bordo interno, la componente assiale di tensione indotta dal momento flettente varia da un valore massimo trattivo 
$$+\sigma_{f,i}=+\frac{r_i}{r_e}\cdot\sigma_{f,e}=+\frac{r_i}{r_e}\frac{M_\mathrm{f}}{W}$$
ad un valore massimo compressivo uguale e opposto $-\sigma_{f,i}$.

Tali componenti assiali di tensione indotte dal momento flettente si compongono con la tensione assiale indotta dalla presenza di fondi, pari ad $A^\prime=\frac{p_i r_i^2}{r_e^2-r_i^2}$.

Passando alla valutazione della tensione ideale secondo Tresca, questa può effettuarsi mediante la formula
$$\sigma_\mathrm{id}=\max \left(\sigma_r,\sigma_\theta,\sigma_a\right)-\min\left(\sigma_r,\sigma_\theta,\sigma_a\right)$$
basata sulle componenti principali di tensione (o, equivalentemente, valutando la massima tra le 2.1.3.6 p. 429), in quanto nè la pressione interna nè il momento flettente inducono componenti tangenziali di tensione $\tau_{r\theta}$, $\tau_{\theta a}$, $\tau_{ar}$ diverse da zero.

Nella ricerca della tensione ideale massima al bordo __esterno__ si sostituiscono entro la formula precedente prima i valori di tensione radiale e circonferenziali propri del bordo esterno, e i valori della tensione assiale dapprima valutata alla fibra massimamente tesa
$$\sigma_{a,e+}=A^\prime+ \sigma_{f,e},$$
e quindi alla fibra massimamente compressa
$$\sigma_{a,e-}=A^\prime- \sigma_{f,e},$$
trattenendo il valore massimo ottenuto per tali punti estremali.

Nella ricerca della tensione ideale massima al bordo __interno__ si sostituiscono entro la formula precedente prima i valori di tensione radiale e circonferenziali propri del bordo interno, e i valori della tensione assiale dapprima valutata alla fibra massimamente tesa
$$\sigma_{a,i+}=A^\prime+ \sigma_{f,i},$$
e quindi alla fibra massimamente compressa
$$\sigma_{a,i-}=A^\prime- \sigma_{f,i},$$
trattenendo il valore massimo ottenuto per tali punti estremali.
====== Es. 4 ======
Il momento ovalizzante e lo sforzo normale si valutano alla sezione A-B secondo le formule (3.2.4) p. 811 e (3.2.25) p. 821, rispettivamente.

La tensione da sforzo normale si calcola in modulo secondo la (3.2.26) p. 821, ed è di natura compressiva.

Le tensioni da momento ovalizzante sono quantificate in modulo dalla (3.2.6) p. 812, e risultano trattive in B e compressive in A.

Le tensioni circonferenziali totali si ottengono sommando con segno i sopracitati contributi.